複素数の「虚部」とは？

よくある間違い

\displaystyle \frac{2+i}{3-\sqrt{2}i}の虚部を求めよ。

複素数 a+bi（a,bは実数）において，aを実部，bを虚部といいます。問題の式を簡単にするためには，分母分子に3+\sqrt{2}iをかけます。

解答

　 \begin{eqnarray} \frac{2+i}{3-\sqrt{2}i} &=& \frac{(2+i)(3+\sqrt{2}i)}{(3-\sqrt{2}i)(3+\sqrt{2}i)}\\ &=& \frac{6+\sqrt{2}i^2+(2\sqrt{2}+3)i}{3^2-(\sqrt{2}i)^2}\\ &=& \frac{6-\sqrt{2}+(2\sqrt{2}+3)i}{9+2}\\ &=& \frac{6-\sqrt{2}+(2\sqrt{2}+3)i}{11} \end{eqnarray}

よって，求める虚部は\displaystyle \boldsymbol{\frac{2\sqrt{2}+3}{11}}

注意
虚部にiをつけて答えない

\displaystyle \frac{2\sqrt{2}+3}{11}iと答えてしまわないように気を付けましょう。

(3-\sqrt{2}i)(3+\sqrt{2}i)の計算

ついつい(3-\sqrt{2}i)(3+\sqrt{2}i)=9-2としてしまう人がいます。iが出てきたときは注意しましょう。