検算して計算ミスに気付こう

$a$ を実数とし， $S(a)=\displaystyle \int_{a}^{a+1} |3x^{2}-6x|dx$ とおく。

（１） $\displaystyle S\left(\frac{3}{2}\right)$ を求めよ。

（２） $0\leqq a \leqq 2$ のとき， $S(a)$ を求めよ。

絶対値記号を含む定積分の問題です。絶対値記号がついたままでは計算できないので，絶対値記号を外すことを考えます。絶対値の中が正のときと負のときで積分区間を分割します。

解答

（１） $3x^{2}-6x=3x(x-2)$ より

　 $\displaystyle \frac{3}{2}\leqq a \leqq 2$ 　のとき　 $|3x^{2}-6x|=-(3x^{2}-6x)$
　 $\displaystyle 2\leqq a \leqq \frac{5}{2}$ 　のとき　 $|3x^{2}-6x|=3x^{2}-6x$
よって，
　 $\begin{eqnarray} S\left(\frac{3}{2}\right) &=& \int_{\frac{3}{2}}^{2} \{-(3x^{2}-6x)\}dx + \int_2^{\frac{5}{2}} (3x^{2}-6x)dx\\ &=& \int_{2}^{\frac{3}{2}} (3x^{2}-6x)dx + \int_2^{\frac{5}{2}} (3x^{2}-6x)dx\\ &=& \left[ x^{3}-3x^{2}\right]_{2}^{\frac{3}{2}} +\left[ x^{3}-3x^{2}\right]_{2}^{\frac{5}{2}}\\ &=& \left(\frac{3}{2}\right)^3 - 3\left(\frac{3}{2}\right)^2 +\left(\frac{5}{2}\right)^3 - 3\left(\frac{5}{2}\right)^2 - 2(8-12)\\ &=& \boldsymbol{\frac{3}{2}} \end{eqnarray}$

（２）積分区間に2が含まれるかどうかで場合分けする。積分区間に2が含まれる場合（解答の（ii））は（１）と同様に考える。
（ｉ） $\displaystyle 0\leqq a \leqq 1$ 　のとき
　 $\begin{eqnarray} S\left(a\right) &=& \int_{a}^{a+1} |3x^{2}-6x|dx\\ &=& \int_{a}^{a+1} \{-(3x^{2}-6x)\}dx\\ &=& \left[ -x^{3}+3x^{2}\right]_{a}^{a+1}\\ &=& -(a+1)^3 +3(a+1)^2 +a^3 -3a^2\\ &=& \boldsymbol{-3a^2 +3a +2} \end{eqnarray}$
（ii） $\displaystyle 1\leqq a \leqq 2$ 　のとき
　 $\begin{eqnarray} S\left(a\right) &=& \int_{a}^{2} \{-(3x^{2}-6x)\}dx + \int_2^{a+1} (3x^{2}-6x)dx\\ &=& \int_{2}^{a} (3x^{2}-6x)dx + \int_2^{a+1} (3x^{2}-6x)dx\\ &=& \left[ x^{3}-3x^{2}\right]_{2}^{a} +\left[ x^{3}-3x^{2}\right]_{2}^{a+1}\\ &=& a^3 - 3a^2 +\left(a+1\right)^3 - 3\left(a+1\right)^2 - 2(8-12)\\ &=& \boldsymbol{2a^3 -3a^2 -3a +6} \end{eqnarray}$

検算その１

（１）の答え $\displaystyle\frac{3}{2}$ は，（２）（ii）の答え $S\left(a\right)=2a^3 -3a^2 -3a +6$ に対し $\displaystyle S\left(\frac{3}{2}\right)$ を計算した値と一致するはずです。実際に代入して計算すると